* Pompe d'alimentation de bacs de stockage et défaut

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une entreprise qui gère des pompes d’alimentation de bacs de stockage fait contrôler les pompes sur différents sites. \(20\; \%\) des pompes sont sous garantie. Le technicien constate que :

• \(1\; \%\) des pompes sous garantie sont défectueuses ;
  
• \(10\; \%\) des pompes qui ne sont plus sous garantie sont défectueuses.
  

On tire au hasard, dans le fichier de l’entreprise, la fiche d’une pompe dont l’entreprise assure le contrôle.
On considère les événements suivants :
\(\text{G}\) : « la fiche tirée est celle d’une pompe sous garantie »
\(\text{D}\) : « la fiche tirée est celle d’une pompe défectueuse »
On note \(\overline{\text{G}}\) et \(\overline{\text{D}}\) les événements contraires.

1. Recopier l’arbre pondéré qui modélise la situation et le compléter par les probabilités manquantes.

2. Démontrer que \(p(\text{D})\) est égal à \(0{,}082\). 

3. Le technicien affirme que moins de \(3\; \%\) des pompes défectueuses sont sous garantie.
On tire au hasard \(50\) fiches de pompes dans le fichier de l’entreprise. Ces fiches sont indiscernables au toucher et ont la même probabilité d’être tirées. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de \(50\) fiches, associe le nombre de fiches de pompes défectueuses. Le technicien a-t-il raison ?

4. La variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

5. a. Calculer la probabilité que, parmi les \(50\) fiches tirées, il y ait exactement \(3\) fiches de pompes défectueuses. Arrondir au millième.
    b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le cadre de l’exercice.